Inilah Rumus Notasi Hiperoperasi (The Hyperoperation Notations Formulas) [NEW UPDATES]

Assalamu'alaikum Wr. Wb.

Hello semuanya! Kali ini saya akan menjelskan tentang Operasi Hitung Diatas Perpangkatan / Eksponensial.

Pasti kita hanya tahu Operasi Hitung Dasar saja (Seperti : Penjumlahan (a+b), Pengurangan (a-b), Perkalian (a*b), dan Pembagian (a/b)) dan mentok sampai Eksponensial (Seperti : Perpangkatan / Eksponensial (a^b), Akar Pangkat-b (b√a), dan Logaritma (Log(a,b))) saja.

Kali ini saya akan memberi tahu Operasi Hitung diatas Eksponensial. Berikut, inilah pemaparannya.

KONSEP DASAR

Kita harus perlu tahu tentang Notasi Hiperoperasi (Hyperoration Notation) :

a[1]b = a+b = a+1+1+...+1, dengan 1-nya diulang sebanyak "b" kali (Penjumlahan / Adition)

a[2]b = a*b = a+a+a+...+a, dengan a-nya diulang sebanyak "b" kali (Perkalian / Multiplication)

a[3]b = a^b = a*a*a*...*a, dengan a-nya diulang sebanyak "b" kali (Eksponensial / Exponentiation)

a[4]b = a^^b = a^a^a^...^a, dengan a-nya diulang sebanyak "b" kali (Tetrasi / Tetration)

a[5]b = a^^^b = a^^a^^a^^...^^a, dengan a-nya diulang sebanyak "b" kali (Pentasi / Pentation)

a[6]b = a^^^^b = a^^^a^^^a^^^...^^^a, dengan a-nya diulang sebanyak "b" kali (Heksasi / Hexation)

(dan seterusnya)

Perlu kita ketahui Jenis - jenis Notasi dalam Hiperoperasi (Hyperopreration Notation) :

Jenis - jenis Notasi Hiperoperasi (Hyperopreration Notation)

Jenis - jenis Notasi Hiperoperasi (Hyperopreration Notation) untuk Tetrasial (Tetration)

1. Penjumlahan / Addition (a[1]b = a+b)

Penjumlahan merupakan Operasi Hitung yang Paling Dasar dan paling banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Berikut, inilah sifat-sifat dasar dari Penjumlahan :

Sifat Komutatif

Urutan di mana Dua (2) Variabel Angka Dikalikan atau Ditambahkan tidak menjadi masalah :

x+y=y+x

Sifat Asosiatif

Pernyataan yang hanya melibatkan Perkalian atau Penjumlahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi :

(x+y)+z=x+(y+z)

Sifat Distributif

Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan Ekspresi Aljabar :

(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z

Contohnya adalah :

1[1]1 = 1+1 = 2
2[1]1 = 2+1 = 3
4[1]2 = 4+2 = 6
2[1]0 = 2+0 = 2
2[1]5 = 2+5 = 7
6[1]3 = 6+3 = 9
8[1]5 = 8+5 = 13
9[1]7 = 9+7 = 16

2. Perkalian / Multiplication (a[2]b = a*b)

Perkalian adalah Operasi Hitung Matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Sederhanya perkalian merupakan Penjumlahan berulang.

Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang; misalnya, 3 dikali 4 (seringkali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama:

3\times 4=4+4+4=12.\!\,

Walaupun demikian, dengan struktur gramatikal yang berbeda, Sekolah Dasar di Negara Jepang mengajarkan perkalian dengan kesepakatan yang sebaliknya berbeda yang dijabarkan berikut:

3\times 4=3+3+3+3=12.\!\,

Secara Matematika, penulisan

3\times 4=4+4+4

atau penulisan

3\times 4=3+3+3+3

keduanya adalah benar.

Perkalian Bilangan Rasional (Pecahan) dan Bilangan Real didefinisi oleh perumuman gagasan dasar ini.

Untuk Bilangan Real dan Kompleks, yang meliputi Bilangan Asli, Bilangan Bulat dan Pecahan, inilah sifat-sifat dasar dari Perkalian :

Sifat Komutatif

Urutan di mana dua nomor dikalikan atau ditambahkan tidak menjadi masalah:

x\cdot y=y\cdot x

Sifat Asosiatif

Pernyataan yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi :

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

Sifat distributif

Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

Unsur Identitas

Identitas perkalian adalah 1; apa pun jika dikalikan dengan satu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Hal ini dikenal sebagai sifat identitas:

x\cdot 1=x

Unsur Nol

Setiap angka dikalikan dengan nol adalah nol. Hal ini dikenal sebagai sifat nol perkalian:

x\cdot 0=0

Ada sejumlah sifat perkalian lainnya yang tidak selalu berlaku untuk semua jenis bilangan.

Negasi

Minus satu dikali suatu bilangan sama dengan Balikan Aditif dari bilangan tersebut.

(-1)\cdot x=(-x)

Minus satu dikali Minus satu adalah positif satu.

(-1)\cdot (-1)=1

Unsur Balikan
Untuk setiap bilangan x, kecuali nol, memiliki Perkalian Invers, ${\frac {1}{x}}$ , sehingga $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

Contohnya adalah :

2[2]1 = 2×1 = 2
2[2]2 = 2×2 = 4
3[2]4 = 3×4 = 12
5[2]3 = 5[1]5[1]5 = 5[1]10 = 15 (5×3 = 5+5+5 = 5+10 =15)

3. Eksponensial / Exponential (a[3]b = a^b)

Bilangan

x

disebut Bilangan Pokok, dan bilangan

y

disebut Eksponen. Sebagai contoh, pada

2^{3}

, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung

2^{3}

seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga

2^{3}=2\cdot 2\cdot 2

. Hasilnya adalah

2\cdot 2\cdot 2=8

. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

$5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$ 5[2]5[2]5 = 125)
$x^{2}=x\cdot {}x$
$1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x (1[3]x = 1)

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut Persegi karena Area Persegi dihitung menggunakan

a^{2}

. Sehingga

x^{2}

adalah persegi dari

x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut Kubik karena Volume Kubus dihitung dengan

a^{3}

. Sehingga

x^{3}

adalah kubik

x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung Invers bilangan pokok. Sehingga:

x^{-1}={\frac {1}{x}}

Jika eksponen adalah Integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}

Jika Eksponen sama dengan

{\frac {1}{2}}

hasilnya adalah Akar Persegi bilangan pokok. Sehingga

x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.

Contoh:

4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2

Dengan cara yang sama, jika Eksponen

{\frac {1}{n}}

hasilnya adalah Akar ke-n, sehingga:

a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}

Jika eksponen merupakan Bilangan Rasional

{\frac {p}{q}}

, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian Ketakterhinggaan Bilangan Rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

x=\lim _{n\to \infty }x_{n}

seperti ini:

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
${\sqrt[{s}]{a^{r}}}=a^{\frac {r}{s}}$
$a^{0}=1,\quad a\neq 0$ : Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen Matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh :

I^{2}=I\cdot I=I

NOTASI PANAH ATAS KNUTH (KNUTH'S UP ARROW NOTATIONS)

Dikutip dari Situs Pointless Large Number Stuff (Google Sites) dan Wiki pedia lalu diterjemahan melalui Google Translate.

Dalam Matematika, Notasi Panah Atas Knuth / Knuth's Up-Arrow Notation adalah salah satu cara untuk melambangkan bilangan bulat dengan nilai yang besar, diciptakan oleh Donald Knuth tahun 1976. Notasi ini berhubungan dekat dengan Hiperoperasi / Hyperoperation, dimana contohnya perkalian dianggap sebagai Iterasi (Iteration) atau Perulangan dari Penjumlahan, Perkalian, dan kemudian Perpangkatan / Eksponentasi merupakan Iterasi dari Perkalian, Iterasi selanjutnya adalah Tetrasi (Tetration), kemudian Pentasi (Pentation), dan seterusnya, dimana Notasi Panah Atas Knuth (Knuth's Up-Arrow Notation) dapat digunakan.

Penjelasan

Operasi matematika yang sudah kita kenal seperti Penjumlahan, Perkalian, dan Perpangkatan dapat disusun menjadi Deret Hiperoperasi seperti berikut :

Perkalian adalah Iterasi atau Perulangan dari Penjumlahan :

a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b\ kali}

Misalnya :

4\times 3=3+3+3+3=12

Perpangkatan adalah Iterasi dari Perkalian, dalam Notasi Knuth dilambangkan dengan Satu (1) Anak Panah :

a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b\ kali}

Misalnya :

4\uparrow 3=4^{3}={4\times 4\times \times 4}

Iterasi selanjutnya disebut Tetrasi yang merupakan perulangan dari perpangkatan, dilambangkan dengan dua anak panah :

a\uparrow \uparrow b=\ ^{b}\!a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} _{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow ({...\uparrow a))}} _{b\ kali}

Misalnya :

4\uparrow \uparrow 3=\ ^{3}\!4=4^{4^{4}}=4\uparrow (4\uparrow 4)=4^{256}\approx 1.34078079\times 10^{154}

atau

Evaluasi di sini dan di bawah ini dilakukan dari Kanan ke Kiri, karena Operator Panah Atas Knuth (seperti halnya Eksponensial) didefinisikan sebagai Asosiatif-Kanan.

Menurut definisi ini,

3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27

3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987

3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}

3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}

dll.

Iterasi selanjutnya seperti Pentasi, Heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah anak panah :

Pentasi :

a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}

Heksasi :

a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}

Jadi, notasi anak panah-

n

didefinisikan sebagai deret anak panah-(

n-1

) :

a\underbrace {\uparrow \uparrow ...\uparrow } _{n}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(...\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}a))} _{b\ kali}

Contoh :

3\uparrow\uparrow\uparrow2 = 3\uparrow\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7,625,597,484,987

{\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}

Sebuah Notasi

a\uparrow ^{n}b

biasanya digunakan untuk

a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b

dengan jumlah panah sebanyak n. Faktaya,

a\uparrow ^{n}b

adalah a[n+2]b dengan Hiperoperasi (Hyperoperation). Contohnya adalah,

39\uparrow \uparrow 14

bisa kita tulis sebagai 39[4]14 ("[4]" berarti Tetrasi), tetapi tidak ekuivalen dengan 39[2]14 = 39×14 = 546; Demikian pula,

77\uparrow ^{77}77

sama dengan 77[79]77, Lebih Besar daripada 77[77]77.

Notasi

Terdapat Notasi Versi Pendek dengan menggunakan

a\uparrow ^{n}b

, contohnya

a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b

.Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan Notasi Hiperoperasi / Hyperoperation Notation, misalnya dalam Hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama Tetrasi karena n-nya adalah Empat (4), bukan Heksasi yang n-nya Enam (6). Dalam Hiperoperasi notasi tersebut berbentuk

a\uparrow ^{n+2}b

, contohnya

a\uparrow ^{5}b=a\uparrow \uparrow \uparrow b

, dan diberinama Pentasi sesuai dengan n-nya yaitu Lima (5).

Notasi Anak Panah dipilih karena beberapa hal seperti Bahasa Pemrograman dan E-mail berupa teks tidak mendukung Simbol Pangkat. Jika suatu Pengodean Karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan Simbol "Caret" (^).

Notasi alternatif lainnya adalah Notasi Anak Panah Berantai Conway (Chained Arrow Notation) yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari Notasi Knuth :

a\uparrow ^{n}b=a\rightarrow b\rightarrow n

PERBANDINGAN DEFINISI NOTASI PANAH ATAS KNUTH (KNUTH'S UP-ARROWS NOTATION) DAN NOTASI HIPEROPERASI (HYPEROPERATIONS NOTATION)

Berikut, inilah perbedaannya.

1. Knuth's Up-Arrows Notation

Notasi Panah Atas secara formal ditentukan oleh :

a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n\geq 1{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}

Untuk semua Bilangan Bulat

a,b,n

dengan

b\geq 0,n\geq 1

Definisi ini dippakai untuk Ekponentasi / Perpangkatan

(a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})

sebagai Perkalian yang berulang untuk kasus dasar, dan Tetrasi

(a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)

sebagai Perpangkatan yang berulang. Ini ekuivalen dengan Urutan Hiperoperasi (Hyperoperation Sequence) kecuali ia menghilangkan Tiga (3) Operasi Dasar, yaitu Suksesor, Penjumlahan dan Perkalian. Dimasukkannya ketiga ini membutuhkan nilai awal tambahan yang agak menyulitkan definisi.

Operator Panah Atas (termasuk Eksponensial Normal,

a\uparrow b

) kadang-kadang digunakan Asosiatif-Kanan, yaitu dievaluasi dari kanan ke kiri dalam ekspresi, yaitu

a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)

daripada

(a\uparrow b)\uparrow c

, tetapi tidak ada konvensi umum, jadi penggunaan tanda kurung umum untuk mencegah ambiguitas.

2. Hyperoperations Notation

Urutan hiperoperasi

H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}

adalah urutan Operasi Biner

H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}

, didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}

(Perhatikan bahwa untuk n = 0, Operasi Biner pada dasarnya dikurangi menjadi Operasi Uner (Fungsi Penerus) dengan mengabaikan argumen pertama.)

Untuk n = 0, 1, 2, 3, definisi ini mereproduksi Operasi Aritmatika Suksesor (yang merupakan Operasi Uner), Penjumlahan, Perkalian, dan Eksponensial, masing-masing, sebagai :

{\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1\,\!,\\H_{1}(a,b)&=a+b\,\!,\\H_{2}(a,b)&=a\cdot b\,\!,\\H_{3}(a,b)&=a^{b}\,\!,\end{aligned}}

Jadi apa yang akan menjadi operasi selanjutnya setelah eksponensial? Kami mendefinisikan multiplikasi sehingga

H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,

, dan didefinisikan eksponensial sehingga

H_{3}(a,3)=a[3]3=a^{3}=a\cdot a\cdot a,

jadi sepertinya logis untuk mendefinisikan operasi selanjutnya, tetrasi, sehingga

H_{4}(a,3)=a[4]3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},

dengan Menara Pangkat Tiga (3) 'a'. Secara Analog, Pentasi dari (a, 3) akan menjadi Tetrasi (a, tetrasi (a, a)), dengan Tiga (3) "a" di dalamnya.

Operasi H untuk n ≥ 3 dapat ditulis dalam notasi panah atas Knuth sebagai :

{\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3\,\!,\\\ldots &\\\end{aligned}}

Notasi Knuth dapat diperluas ke Indeks Negatif ≥ −2 sedemikian rupa sehingga setuju dengan seluruh rangkaian hiperoperasi, kecuali untuk keterlambatan pengindeksan :

H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.

Hyperoperations dengan demikian dapat dilihat sebagai jawaban untuk pertanyaan "apa yang selanjutnya" dalam Urutan : Suksesor, Penjumlahan, Perkalian, Perpangkatan, dan sebagainya. Memperhatikan itu.

{\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}

Hubungan antara operasi aritmatika dasar diilustrasikan, yang memungkinkan operasi yang lebih tinggi untuk didefinisikan secara alami seperti di atas. Parameter dari hirarki hiperoperasi kadang-kadang disebut dengan istilah eksponensial yang analog; jadi "a" adalah basis, "b" adalah Eksponen (atau Hyperexponent), dan "n" adalah pangkat (atau kelas); dan

H_{n}(a,b)

dibaca sebagai "b dengan n-asi dari a", e.g.

H_{4}(7,9)

dibaca sebagai "9 Tetrasi dari 7", and

H_{123}(456,789)

dibaca sebagai "789 dengan 123-asi dari 456".

Dalam istilah umum, Hiperoperasi adalah cara untuk menambah angka yang meningkatkan pertumbuhan berdasarkan Iterasi Hiperoperasi sebelumnya. Konsep penerus, Penjumlahan, Perkalian, dan Eksponensial semuanya Hiperoperasi; Operasi Penerus (menghasilkan x + 1 dari x) adalah yang paling primitif, Operator Penjumlahan menentukan berapa kali 1 akan ditambahkan ke dirinya sendiri untuk menghasilkan Nilai Akhir, Perkalian menentukan berapa kali jumlah yang akan ditambahkan ke itu sendiri, dan Eksponensial mengacu pada berapa kali angka harus dikalikan dengan sendirinya.

EKSTENSI UNTUK HIPEROPERASI LEVEL 0 (SUKSESOR) DAN LEVEL 1,5 (LEVEL PECAHAN)

Untuk memahami Ekstensi Hiperoperasi Level 0 / Suksesor (Hyperoperation Level 0 / Successor), lihat di bawah ini :

$a[n]b = \underset{b}{\underbrace{a [n-1] a [n-1] a [n-1] \cdots\cdots\cdots [n-1] a [n-1] a}}$

$p[n]2 = p[n-1]p$

Dan kita misalkan :

$a[4]b = a \uparrow\uparrow b = {^{b}\textrm{a}}$ (Tetrasi / Tetration)

$a[3]b = a \uparrow b = a^{b}$ (Eksponentasi / Exponentiation)

$a[2]b = a \times b = a \cdot b = ab$ (Perkalian / Multiplication)

$a[1]b = a + b$ (Penjumlahan / Addition)

$a[0]b = a \circledast b$ (Zerasi atau Suksesor / Zeration or Successor)

Lalu seperti ini :

$a^{b} = \underset{b}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots\cdots\cdots \cdot a \cdot a}}$

$a \cdot b = \underset{b}{\underbrace{a + a + a + \cdots\cdots\cdots + a + a}}$

$a + b = \underset{b}{\underbrace{a \circledast a \circledast a \circledast \cdots\cdots\cdots \circledast a \circledast a}}$

Dan harus kita ketahui sifat-sifatnya :

$p^{2} = p \cdot p$

$p \cdot 2 = p + p = 2p$

$p + 2 = p \circledast p$

1. Zerasi / Zeration (a[0]b = a⊛b)

Rumus untuk Menghitung Zerasi / Zeration (Hyperoperation Level 0) yaitu :

$a[0]b = a \circledast b = \textup{Max}(a,b) + \delta_{a,b} + 1$

Dengan Keterangan :

࿃ Fungsi Delta Kronecker / Kronecker Delta Function :
$\delta_{a,b} = \frac{1}{2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi}{{e^{t \cdot (a-b)i}}{dt}} = \frac{e^{2i\pi(b-a)}-1}{2i\pi(b-a)} = \lim_{k \rightarrow 0}{k^{\left | a-b \right |}}$
࿃ Fungsi Maksimum / Maximum Function :
$\textup{Max}(a,b) = \lim_{k \rightarrow \infty}{{(\frac{1}{2}(a^{k} + b^{k}))}^{\frac{1}{k}}} = \frac{a+b + \left | a-b \right |}{2}$

Jadi, kita bisa mencari Fungsi Zerasi / Suksesor dengan menggunakan Rumus di Bawah ini :

$a \circledast b = \textup{Max}(a,b) + \delta_{a,b} + 1 = 1 + \lim_{k \rightarrow \infty}{{(\frac{1}{2}(a^{k} + b^{k}))}^{\frac{1}{k}}} + \frac{1}{2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi}{{e^{t \cdot (a-b)i}}{dt}} = \frac{a+b + \left | a-b \right |}{2} + \frac{e^{2i\pi(b-a)}-1}{2i\pi(b-a)} + 1$

Atau cara lainnya bisa dirumuskan sebagai berikut (Rumus yang Paling Bagus dan Akurat) :

$a[0]b = a \circledast b = \frac{1}{2} (a+b + \frac{(a-b)^{2}}{|a-b|}) + \lim_{k \rightarrow 0}{k^{\left | a-b \right |}} + 1$

BONUS !

࿃ Fungsi Minimum / Minimum Function :
$\textup{Min}(a,b) = \lim_{k \rightarrow -\infty}{{(\frac{1}{2}(a^{k} + b^{k}))}^{\frac{1}{k}}} = \frac{a+b - \left | a-b \right |}{2}$

2. Operator Level 1.5 (a[1.5]b)

Untuk menghitung Operasi Hitung Level Pecahan memang agak rumit dan sedikit ada ketelitian tingkat tinggi untuk bisa menghitungnya.

Perlu kita ketahui cara menghitungnya :

$a[2.5]b = \underset{b}{\underbrace{a [1.5] a [1.5] a [1.5] \cdots\cdots\cdots [1.5] a [1.5] a}}$

$a[1.5]b = \underset{b}{\underbrace{a [0.5] a [0.5] a [0.5] \cdots\cdots\cdots [0.5] a [0.5] a}}$

Kita harus mengetahui sifat-sifatnya :

$p[3.5]2 = p[2.5]p$

$p[2.5]2 = p[1.5]p$

$p[1.5]2 = p[0.5]p$

Akan tetapi untuk menghitung Operasi Hitung Level Setengah (1/2, 3/2, 5/2, ... = 0.5, 1.5, 2.5, ...) bisa kita menggunakan Deret Iteratif dengan menggunakan Rata-rata Hiperoperasi (Hyperoperation Mean). Untuk menghitung Operasi Level 1,5 bisa kita menggunakan Deret Iteratif dengan menggunakan kombinasi Rerata Aritmatika (Arithmetic Mean) dan Rerata Geometrik (Geometic Mean).

Misalkan dari Suku Awal dan Suku Pertama :

$a_{0} = a + b$ dan $b_{0} = a \cdot b$

Lalu,

$a_{1} = \frac{a_{0} + b_{0}}{2}$ dan $b_{1} = \sqrt{a_{0} \cdot b_{0}}$

Begitu juga seterusnya.

$a_{n+1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ dan $b_{n+1} = \sqrt{a_{n} \cdot b_{n}}$

Dan terakhir hitung hingga jumlahnya Tak Terhingga / Infinity. Dan inilah cara untuk menghitung Operasi Hitung Level 1,5.

$a[1.5]b = \lim_{n \rightarrow \infty }{a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty }{b_{n}}$

Atau seperti yang ada di bawah ini :

$a[1.5]b = \lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{a_{n} + b_{n}}{2}}$ dan / atau $a[1.5]b = \lim_{n \rightarrow \infty }{\sqrt{a_{0} \cdot b_{0}}}$

Sebenarnya Operasi Hitung Level 1.5 bisa dihitung dengan mengunakan Rumus Rata-rata Aritmetik - Geometrik (Arithmetic – Geometric Mean).

$a[1.5]b = \textup{AGM}(a+b, \, ab) = \frac{\pi \cdot (a+b+ab)}{4 \cdot K(\frac{a+b-ab}{a+b+ab})}$

Keterangan / Note :

$K(n)$ : Complete Elliptic Integral of the First Kind

EKSTENSI UNTUK BILANGAN TIDAK BULAT / NON-INTEGER (THE EXTENSIONS FOR NON-INTEGER NUMBERS)

Berikut, inilah Ekstensinya.

$a \uparrow^n b = a^b$ , Jika $n>1$ dan $0 \leq b \leq 1$ .

$a \uparrow^n b = a[n+2]b$ atau $a \uparrow^{n-2} b = a[n]b$

Sifat-sifat :

$a \uparrow^n (b+1) = a \uparrow^{n-1} (a \uparrow^n b)$

1. Rumus Tetrasi

(Note : Jika ingin mengetahui dan membaca tentang Catatan tentang Tetrasi (Tetration), silahkan lihat di sini.

$^{b+1}\textrm{a} = a^{(^{b}\textrm{a})}$ , $^{b}\textrm{a} = \log_{a}(^{b+1}\textrm{a})$

Jika :

$^{b}\textrm{a} = \log_{a}(-b-1)$ , $-2 \leq b \leq -1$

$^{b}\textrm{a} = a+1$ ,   $-1 \leq b \leq 0$

$^{b}\textrm{a} = a^{b}$ ,   $0 \leq b \leq 1$

$^{b}\textrm{a} = a^{a^{b-1}}$ , $1 \leq b \leq 2$

Contoh :

$^{2}\textrm{3} = 3^{3} = 27$

$^{2}\textrm{4} = 4^{4} = 256$

$^{2}\textrm{5} = 5^{5} = 3125$

$^{3}\textrm{2} = 2^{2^{2}} = 2^{4} = 16$

$^{3}\textrm{4} = 4^{4^{4}} = 4^{256} \approx 1.340780792994 \cdot 10^{154}$

$^{4}\textrm{4} = 4^{4^{4^{4}}} = 4^{4^{256}} \approx 4^{1.340780792994 \cdot 10^{154}} \approx \textup{Exp}_{10}^2(153.906997547968)$

$^{3}\textrm{3} = 3^{3^{3}} = 7625597484987$

$^{4}\textrm{3} = 3^{3^{3^{3}}} = 3^{7625597484987} \approx 1.2580143 \cdot 10^{3638334640024}$

$^{2}\textrm{10} = 10^{10} = 10000000000$

$^{3}\textrm{10} = 10^{10^{10}} = 10^{10000000000}$

$^{4}\textrm{10} = 10^{10^{10^{10}}} = 10^{10^{10000000000}} = \textup{Exp}_{10}^3(10)$

$^{0.5}\textrm{2} = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41421356237309$

$^{1.5}\textrm{2} = 2^{2^{1.5-1}} = 2^{\sqrt{2}} \approx 2.66514414269022$

$^{-0.6}\textrm{5} = 1+(-0.6) = 0.4$

$^{-1.3}\textrm{6} = \log_{6}(^{-0.3}\textrm{6}) = \log_{6}(0.3) \approx -0.67195001617301$

$^{\frac{\pi}{2}}\textrm{e} = e^{e^{(\frac{\pi}{2}-1)}} \approx 5.8689499323685$

$^{\frac{e}{2}}\textrm{pi} = \pi^{\pi^{(\frac{e}{2}-1)}} \approx 5.6228079653323$

2. Rumus Pentasi

$a \uparrow\uparrow\uparrow (b+1) = a \uparrow\uparrow (a \uparrow\uparrow\uparrow b)$ ,    $a \uparrow^3 b = \textup{Slog}_{a}(a \uparrow^3 (b+1))$

Jika :

$a \uparrow^3 b = \textup{Slog}_{a}(-b-1)$ ,   $-2 \leq b \leq -1$

$a \uparrow^3 b = a+1$ ,   $-1 \leq b \leq 0$

$a \uparrow^3 b = a \uparrow b = a^{b}$ ,   $0 \leq b \leq 1$

$a \uparrow^3 b = a \uparrow\uparrow (a \uparrow\uparrow (a^{(b-1)})))$ ,   $1 \leq b \leq 2$

Contoh :

$2 \uparrow^3 0.5 = 2^{0.5} \approx 1.41421356237309$

$2 \uparrow\uparrow\uparrow 1.5 = ^{2 \uparrow\uparrow (1.5-1)}\textrm{2} = ^{2 \uparrow\uparrow 0.5}\textrm{2} = ^{\sqrt{2}}\textrm{2} = 2^{2^{(\sqrt{2}-1)}} \approx 2.51851281401508$

Keterangan Tambahan (Nested Exponentation Function) :

$\textup{Exp}_{a}^b(c) = (a \uparrow)^{b}c = \underset{b}{\underbrace{(a \uparrow a \uparrow a \cdots \uparrow a \uparrow a)}\uparrow c} = (\underset{b}{\underbrace{a^{a^{\cdots ^{\cdots a^{a}}}}})^{c}}$

$^{b}\textrm{a} = \textup{Exp}_{a}^b(1)$

Contoh :

$\textup{Exp}_{8}^2(4) = 8^{8^{4}}$

$\textup{Exp}_{10}^3(153.906997547968) = 10^{10^{10^{153.906997547968}}}$

TABEL NILAI

Untuk mengkomputasi Nilai Bilangan $a \uparrow^{n-2} b = a[n]b$ dengan $1<n<6$ bisa dihitung dengan menggunakan Tabel.

Berikut, inilah Tabel Nilai $3[n]k$ dan $k[n]3$ hanya untuk Nilai   $1 \leq k \leq 2$ .

Tabel   $k[n]3 = 3[n]k$ , Jika n = 1 dan n = 2

1. Penjumlahan / Addition

2. Perkalian / Multiplication

Tabel $3[n]k$ dan $k[n]3$ , Jika n = 3 sampai dengan n = 6

3. Eksponentasi (Perpangkatan) / Exponentiation

4. Tetrasi / Tetraton

5. Pentasi / Pentation

6. Heksasi / Hexation

Jika ingin melihat lebih jelas lagi, silahkan lihat atau lihat di sini. Atau jika masih kurang jelas, silahkan lihat gambar di bawah ini.

3[n]k

k[n]3

GALERI

Atau jika anda kurang memahami tentang Komputasi Nilai Bilangan Heksasi (Hexation) dan Lainnya di Atas, silahkan lihat Video dan Foto di Bawah Ini.

Video

3[6]n = 3 ^^^^ n